(Subscript[g, 3/2])[
          z_] := (2/(Sqrt[π])) (∫_0^∞) ((y^(1/2))/((z^(-1)) (E^y) - 
                    1)) \[DifferentialD]y;

Plot[
        Evaluate[(Subscript[g, 3/2])[z]], {z, 0, 
          1}];

Series[
      (Subscript[g, 3/2])[z], {z, 0, 3}]

(Subscript[g, 3/2])[1]
% // N

(Subscript[g, 5/2])[
          z_] := (4/(3 (Sqrt[ π]))) (∫_0^∞) ((y^(3/2))/((z^(-1)) (E^y) - 
                    1)) \[DifferentialD]y;

Plot[
        Evaluate[(Subscript[g, 5/2])[z]], {z, 0, 
          1}];

Series[
      (Subscript[g, 5/2])[z], {z, 0, 3}]

(Subscript[g, 5/2])[1]
% // N